KHOA SP TOÁN HỌC - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu lưu hành nội bộ, Nghệ An - 2016 MỤC LỤC 1. Phát triển tư duy trừu tượng 2 2. Ứng dụng trong Hóa học 3 3. Ứng dụng trong Lý thuyết mã 5 4. Dao động điều hòa Vai trò, ứng dụng của Số Phức với môn Toán và trong đời sống. Khi học Toán ở cấp II, chúng ta chỉ biết rằng Bình phương của một số luôn là một số không âm. Nhưng khi tiếp cận về Số Phức thì khái niệm đó không còn đúng nữa bởi bình phương của Số Phức là một số âm. Thực hiện mục tiêu giáo dục của nhà trường "Học tập trải nghiệm sáng tạo" với tinh thần "Em yêu khoa học", thực hiện kế hoạch dạy học năm học 2022 - 2023; đồng thời khuyến khích học sinh nghiên cứu, sáng tạo khoa học công nghệ, kỹ thuật, vận dụng kiến TTO - Ai từng đi học cũng đều quen thuộc với khái niệm "đạo hàm", nhưng ít người biết nó có ý nghĩa gì, ứng dụng gì trong cuộc sống. Cách mạng công nghiệp lần thứ 3,141592654 - thời của người giỏi toán Hãy cùng Trung tâm Toán học UNIX xem xét một số ứng dụng của lượng giác cụ thể như thế nào trong cuộc sống hằng ngày nhé. 1. Lượng giác giúp đo chiều cao, đo khoảng cách. Nhờ tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có thể tính được những khoảng cách không thể tới 3Nj7V. TOÁN HỌC QUAN TRỌNG VÀ ĐA DỤNG HƠN BẠN NGHĨ Ngày 10/05/2021 4,855 lượt xem Con bạn đang ghét toán, sợ toán và cảm thấy phải học rất nhiều thứ không biết để làm gì trong môn này. Thật sự toán học có nhiều ứng dụng hơn chúng ta nghĩ. Nếu thầy cô, chương trình học đều không giúp con bạn nhận ra điều đó thì đây là bài viết bạn nên đọc để chia sẻ với con, giúp con yêu toán hơn. Đầu tiên, hãy nhìn vào bộ môn cơ bản nhất của toán học, đó là số học. Theo Dr. Aart, số học không chỉ là khả năng làm việc với các con số mà còn là việc thấu hiểu bản chất của chúng. Chúng ta bắt gặp các con số và các chữ số ở mọi nơi trong cuộc sống hàng ngày thời gian, số lượng, giá cả đều được biểu hiện bằng số. Cho dù bạn nói ngôn ngữ nào thì mọi người đều làm việc với các con số. Nhưng vì sao khả năng làm việc với các con số là quan trọng? Dường như đó là vấn đề chúng ta chưa bao giờ được hỏi. Ảnh Mathsisfun Và vì sao toán học là môn bắt buộc và thậm chí là "môn học cốt lõi" ở những nơi như Hà Lan? Không phải tất cả mọi người đều sử dụng toán sau khi học xong phổ thông. Toán học là ngôn ngữ của các con số Toán học siêu việt hơn cấp độ số học thuần túy. Toán học không chỉ cho phép bạn làm việc với các con số mà còn với các ký tự để xây dựng các công thức, phương trình và làm việc trên chúng. Những công thức này giúp bạn thể hiện các mối quan hệ dễ dàng hơn nhiều. Lấy một ví dụ, bạn đang trong kỳ nghỉ và muốn thuê một chiếc xe hơi. Bạn đến một công ty cho thuê xe, trả khoản phí tiêu chuẩn 50 euro, và phải trả thêm 30 eurocent trên mỗi km, trong khi không phải trả bất cứ chi phí nào cho 25 km đầu tiên. Quả là một câu dài mà có thể bạn phải đọc hai lần để hiểu được. Đầu tiên, chúng ta hãy tóm tắt lại đề bài phí tiêu chuẩn là 50 euro, được miễn phí 25 km đầu tiên, trả thêm 30 eurocent trên mỗi km cộng thêm. Thể hiện bằng ngôn ngữ toán số euro chúng ta phải trả = 50 + 0,3 x số km sẽ đi – 25. Biểu thức này dễ hiểu hơn nhiều! Ảnh Youtube Toán học giúp chúng ta giao tiếp mà không cần dùng đến ngôn ngữ con người đôi khi vô dụng. Chỉ cần cộng, nhân, bằng =, Một ngôn ngữ được thấu hiểu trên toàn thế giới. Các ký hiệu toán là giống nhau ở mọi nơi, dù bạn nói tiếng Anh, Pháp, Tây Ban Nha hay Hà Lan. Toán học tạo nên trật tự trong thế giới hỗn loạn Thế giới xung quanh chúng ta có tất cả các loại quan hệ. Có những loại quan hệ đơn giản như quan hệ giữa thời gian và tốc độ, thời gian và số tiền trong tài khoản tiết kiệm, và cũng có những quan hệ phức tạp như các lực hấp dẫn giữa hai hành tinh. Chúng ta có thể dùng công thức để biểu diễn tất cả các quan hệ trên, với mục đích xây dựng trật tự trong vũ trụ, hay hiểu rõ vũ trụ. Do đó, các công thức không chỉ quan trọng trong bản thân môn toán mà còn là một phần thiết yếu trong các môn như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế học. Như vậy, để tiến bộ trong những môn này, bạn cần phải có khả năng làm việc với các công thức. Đó là lý do vì sao chính phủ Hà Lan tuyên bố toán học là một "môn học lõi". Toán là "môn học lõi" cho tất cả sinh viên đang theo đuổi các ngành khoa học chính xác nêu trên, trong trường học và cả sau này. Hình học Hình học, bộ môn xem xét các vấn đề đo lường và khoảng cách cũng là một phần quan trọng của toán học. Việc đặt tên cho các hình khối khác nhau rất hữu ích và luôn tiện dụng. Ngoài ra, bạn sẽ học tất cả các công thức tính toán diện tích và thể tích của tất cả các loại hình khối. Một lần nữa, phần này cũng có sự trùng lắp với các môn học khác. Trong vật lý và hóa học, việc tính toán khoảng cách cũng quan trọng. Và những kiến thức đó có thể sẽ chắp cánh cho giấc mơ làm nhà thiết kế hay kiến trúc sư của con bạn. Ảnh Math-Salamanders Áp dụng kiến thức toán cho bản thân Thật khó mà tưởng tượng được là bạn chưa bao giờ phải tính diện tính sàn một phòng nào đó trong nhà hay một số phần trong khu vườn nhà bạn để tính ra số thảm lót sàn hay đất bạn phải mua. Hay việc tính xem công ty nào là nhà cung cấp rẻ nhất, tính tiền đăng ký mua báo hay các tài khoản hội viên, tiền thế chấp, tiền điện nước hàng tháng… Tính toán bằng máy tính 1 Bạn có thể nghĩ rằng, các phép tính trên có thể được hoàn thành bằng máy vi tính hay một website nào đó! Điều đó đúng nhưng không may là không phải lúc nào mọi việc cũng đơn giản như vậy. Ví dụ, bạn thường phải làm việc với các hợp đồng có thời hạn khác nhau hay có các điều khoản phụ phí khác nhau. Khi đó tiền thanh toán trọn gói sẽ khác nhau tùy theo thời hạn hợp đồng. Trong những trường hợp này, nếu không tự mình thực hiện một số phép tính thì bạn không thể so sánh các hợp đồng đó với nhau. Câu "Chúng ta đến trường để học cách phân biệt điều có ý nghĩa và điều vớ vẩn" luôn gắn chặt với chúng ta. Có nhiều thứ vô nghĩa trên mạng internet. Một cách nói khác của "có ý nghĩa và vớ vẩn" là "sự thật và giả tưởng". Con người hay phạm lỗi. Do đó, máy tính và website được lập trình bởi con người cũng có thể có lỗi. Bạn chỉ có thể tự mình nhận ra những lỗi đó bằng một số hiểu biết về toán và các con số. Bạn có thể mù quáng tin vào người đàn ông mà có thể bạn chỉ gặp một lần trong đời, người đàn ông khẳng định là đã lót 25 m2 sàn gỗ laminate trong phòng khách của bạn? Tôi thì không. Nhưng nói vui là tôi sẽ thưởng cho anh ta nếu anh ta lót thêm 5 m2 không tính phí. Toán trong giáo dục đại học/khoa học Một tấm bằng tốt nghiệp phổ thông đã trao cho bạn một nền tảng rộng. Với bằng tốt nghiệp này, bạn có thể nộp đơn vào bất kỳ trường đại học nào, tùy vào ngành học bạn lựa chọn. Một số sẽ chọn một ngành không cần đến toán. Số khác chọn học toán hay một ngành có dùng toán. Bạn cũng có thể nói như vậy với các môn khác ở bậc trung học. "Toán không cần được dạy ở trường trung học vì bạn sẽ không dùng nó trong cuộc sống hàng ngày". Bạn cũng có thể nói những câu tương tự với môn tiếng Pháp, lịch sử hay âm nhạc. Môn toán rất cần thiết cho khoa học. Không có các nhà toán học, chúng ta sẽ không có máy tính, không có điện thoại di động, không có tàu vũ trụ, không có dự báo thời tiết, không DVD, không máy chụp MRI máy chụp cộng hưởng từ để thực hiện các chẩn đoán y khoa Dĩ nhiên, không phải tất cả mọi người đều trở thành nhà khoa học. Tuy nhiên, khi bạn còn học trung học, bạn có thể không đủ khả năng nhìn trước được đích đến trong cuộc đời công việc sau này của bạn. 50% sinh viên chuyển ngành hoặc muốn chuyển ngành trong thời gian học, theo Dr Aart. Ngoài ra, nhiều người chuyển đổi nghề nghiệp trong cuộc đời sau này của họ. Ảnh MSU Denver Phát triển năng lực tư duy logic và giải quyết vấn đề Học toán giúp bạn học cách giải quyết vấn đề. Bạn sẽ nhận được một số lượng vô kể các bài toán trong suốt sự nghiệp học hành. Tất cả những bài toán đó sẽ được giải bằng một phương pháp nhất định. Trong hầu hết trường hợp, phương pháp này bao gồm một số câu hỏi bạn đặt ra cho mình. Đề bài đã cho thông tin nào? Yêu cầu là gì? Tôi cần có những gì? Cách tính các yêu cầu với thông tin có sẵn? Cách giải quyết vấn đề này cũng có thể ứng dụng trong nhiền vấn đề không liên quan gì đến toán. Toán học giúp bạn trở thành một người giải quyết vấn đề giỏi hơn! Tính toán bằng máy tính 2 Mỗi ngày, có nhiều chương trình và ứng dụng mới ra đời. Điều quan trọng ở đây là lập trình. Vì sao máy tính hay smart phone của bạn làm việc? Vì có một nhà toán học bắt đầu lập trình cho nó. Bộ xử lý trong máy tính hay điện thoại chỉ chấp nhận 0 và 1. Đó là sự thật! Các nhà toán học thông minh đã phát triển "máy tính" này xa hơn và đến một thời điểm, anh ta đã phát triển được các ngôn ngữ lập trình đầu tiên. Logic và kiến thức toán vẫn là một phần không thể thiếu của quá trình lập trình. Một cánh tay robot trong xí nghiệp phải được thiết kế và cũng phải được lập trình. Cả hai đều cần nhiều sự hỗ trợ của toán. Tất cả dữ liệu được tạo ra hoặc gửi đi bởi người dùng phải được lưu trữ ở đâu đó. Các công ty thích mã hóa dữ liệu để chúng được lưu trữ an toàn khỏi những người đứng ngoài. Và toán học thuần túy nữa toán học thuần túy hay toán lý thuyết là ngành học nghiên cứu lý thuyết toán chỉ để ứng dụng trong toán học, còn toán ứng dụng là các lý thuyết toán ứng dụng trong các lĩnh vực khác như khoa học máy tính, xác suất thống kê, vật lý, hóa học, kinh doanh…. Chúng ta có đủ công việc cho các nhà toán học. Linh Trần Theo Dr. Aart Nguồn Chủ nhật – 26/04/2020 21 32 Khi đứng trên giảng đường mình vẫn thường nói với sinh viên rằng ” Trong các lĩnh vực của Toán học thì xác suất thống kê có ứng dụng thực tế to lớn trong cuộc sống hàng ngày “. Cũng có thể vì lí do đó mà môn học xác suất thống kê được dạy bắt buộc cho tất cả các nghành trong trường đại học. Tuy nhiên ,các kiến thức liên quan đến xác suất thống kê trong chương trình của trường ta lại bị phớt lờ đi . Ngày nay trong thời đại công nghệ thông tin, với số lượng dữ liệu khổng lồ chưa từng có, kiến thức xác suất thống kê ngày càng phát huy tác dụng của nó . Vì thế tôi hy vọng sau bài viết về tính ứng dụng của xác suất thống kê vào cuộc sống ,sẽ giúp tiếp thêm ngọn lửa đam mê. Giúp các bạn có thể hiểu thêm về một môn học rất hữu ích cho chúng ta . Advertisement 1. Xác suất là gì ? Thực hiện một hành động nào đó là ta thực hiện một phép thử , tung một con xúc sắc, mua một tờ sổ số ,làm một thí nghiệm…Một khả năng hay tình huống có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố . Trong đời sống hằng ngày ta thường gặp phép thử ngẫu nhiên nghĩa là phép thử mà ta không khẳng định được kết quả trước khi nó được thực hiện, ví dụ mua một vé sổ số là một phép thử ngẫu nhiên vì trước khi mua ta không thể khẳng định được là trúng hay không … Để đặc trưng cho khả năng xảy ra của một biến cố, người ta dùng một con số không âm, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn được đặc trưng bởi con số lớn hơn và ngược lại. Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của một biến cố được gọi là xác suất của biến cố. 2. Thống kê là gì ? Thống kê học là hệ thống các phương pháp để thu thập, xử lý và phân tích các con số của hiện tượng để tìm hiểu bản chất và tính qui luật vốn có của chúng trong điều kiện thời gian và không gian cụ thể. 3. Ứng dụng của xác suất thống kê trong đời sống hằng ngày Bài toán 1 có nên mua số đề hay không ?Đánh đề hiện nay là một vấn nạn trong xã hội, vậy đánh đề lời hay lỗ mà nhiều người lại đam mê như vậy ? Chúng ta hãy thử dùng phương pháp của xác suất thống kê để giải thíchLuật chơi Bạn đặt một số tiền, nói đơn giản là a đồng để mua một con số từ 00 đến 99. Mục đích của người chơi là làm sao để con số này trùng với hai con số của sổ số đặc biệt do nhà nước phát hành trong ngày hôm đó, nếu số của bạn trùng bạn sẽ được gấp 70 lần tiền đầu tư, tức là 70a. Nếu không trúng bạn mất x đồng đầu tư ban người quan điểm sai lầm rằng Nếu bỏ ra số tiền đồng. Nếu trúng sẽ được thưởng 7 triệu đồng tức là lãi triệu đồng. Tuy nhiên nếu thua chỉ bị lỗ ngàn đồng . Quá lời !!!!!!Vậy đâu là sai lầm trong cách nghĩ này Chúng ta hãy giải bài toán này Vì chỉ có 1 số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là .Trong khi đó xác suất thua là 1- 0,01 = 0,99 .Khi đó trung bình người chơi lãi x 0,01 + – x 0,09 = vậy mỗi lần chơi trung bình bạn lỗ khoảng đồng .Như vậy sai lầm của người chơi là không tính đến xác suất trúng có lớn hay không .Vì xác suất này rất nhỏ nên đánh hoài không trúng !!!!!Xác suất thống kê có rất nhiều ứng dụng thực tiễn khác, ví dụ như Tính số lượng cá trong hồ, tính số chim trong rừng, ứng dụng trong kinh tế, ước lượng tỉ lệ bầu cử, ước lượng chiều cao trung bình, năng suất trung bình ….Bài toán 2 Chứng minh sự công bằng Có 3 sinh viên trong một phòng trọ nhưng họ chỉ được tặng hai vé đi xem phim. Khi đó họ làm 3 lá thăm trong đó 2 lá thăm được đánh dấu ” X “. Mỗi người rút lần lượt 1 lá thăm. Nếu ai rút được lá ” X ” thì được đi, tính xác suất được đi của từng người để chứng minh rằng rút trước hoặc sau thì xác suất được đi vẫn như nhau Quan niệm sai lầm Có người cho rằng người rút thứ nhất sẽ có cơ hội được đi nhiều hơn và tiếp tục là cơ hội cho người thứ hai, còn người rút sau cùng sẽ bị thiệt thòi. Các suy luận trên đều saiLời giải đúng – Gọi P1 là xác suất để người rút thứ 1 được đi P1 = – Gọi P2 là xác suất để người rút thứ 2 được đi 🙁 Nó phụ thuộc vào kết quả của người 1 P2 = . + .1 = – Gọi P3 là xác suất để người rút thứ 3 được đi 🙁 Nó phụ thuộc vào kết quả của người 1 và người 2P3 = ..0 + .1 + . Tóm lại rút lần lượt hay rút cùng lúc thì xác suất của cả 3 sinh viên được đi là như nhauBài toán 3 Đếm số cá trong hồ Đây là bài toán thường ngày của những ngư dân nuôi cá , họ muốn biết xem số cá hiện có trong hồ của họ là bao nhiêu để có những kế hoạch nuôi đúng cách .Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là không thể bắt hết cá lên bờ, sau đó đếm thủ công được ,sẽ ảnh hưởng không tốt đến nó hoặc là mất nhiều thời gian .Lời giải ; Các bước thực hiện như sau – Bước 1 Bắt một lượng n cá lên, giả sử n = 50, rồi đánh dấu chúng sau đó thả lại vào hồ .– Bước 2 Sau đó bắt đại một lượng cá trong hồ lên, rồi tính tỉ lệ p là số lượng cá được đánh dấu. Ví dụ Bắt lên 20 con cá, thấy 2 con có đánh dấu, tức là p = = 10% – Bước 3 Ước lượng tổng số cá là .Như ví dụ trên là thực tế, số cá trong hồ phân bố không đều lắm nên ngư dân phải thực hiện ước lượng số cá như trên trong vài lần, sau đó tính trung bình lại, lúc đó kết quả chính xác hơn .Cách làm trên là ước lượng tỉ số cá được đánh dấu, tuy nhiên còn một số vấn đề để suy ngẫm như – Bắt bao nhiêu con cá lên để đánh dấu.– Chọn mẫu cá lên bao nhiêu để tính tỉ lệ– Ước lược trên chính xác được bao nhiêu phần trăm …Nếu các bạn muốn nghiêng cứu sâu hơn, các bạn có thể tìm các tài liệu xác suất thống kê ở bậc đại học, phần ước lượng, sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp ước lượng chính xác hơn .Ngoài ra việc ước lượng cũng thường xuyên được dùng trong thực tế như Tính chiều cao trung bình, ước lượng tỉ lệ bầu cử trước khi ứng cử, điều tra dân số, kiểm tra chất lượng sản phẩm ….Còn nhiều bài toán thú vị nữa nhé các Bạn, hi vọng sau khi đọc bài này các Bạn có cái nhìn tổng quan hơn và dễ tiếp thu hơn đối với môn Xác Suất Thống Kê và không còn cảm giác e dè khi học môn học này .Trước khi nêu ra ứng dụng của nó, chúng ta cần một số khái niệm về xác suất, thống kêThực hiện một hành động nào đó là ta thực hiện một, tung một con xúc sắc, mua một tờ sổ số ,làm một thí nghiệm…Một khả năng hay tình huống có thể xảy ra của phép thử được gọi làTrong đời sống hằng ngày ta thường gặp phép thử ngẫu nhiên nghĩa là phép thử mà ta không khẳng định được kết quả trước khi nó được thực hiện, ví dụ mua một vé sổ số là một phép thử ngẫu nhiên vì trước khi mua ta không thể khẳng định được là trúng hay không … Để đặc trưng cho khả năng xảy ra của một biến cố, người ta dùng một con số không âm, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn được đặc trưng bởi con số lớn hơn và ngược lại. Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện của một biến cố được gọi làcủa biến kê học là hệ thống các phương pháp để thu thập, xử lý và phân tích các con số của hiện tượng để tìm hiểu bản chất và tính qui luật vốn có của chúng trong điều kiện thời gian và không gian cụ đề hiện nay là một vấn nạn trong xã hội, vậy đánh đề lời hay lỗ mà nhiều người lại đam mê như vậy ? Chúng ta hãy thử dùng phương pháp của xác suất thống kê để giải thíchBạn đặt một số tiền, nói đơn giản là a đồng để mua một con số từ 00 đến 99. Mục đích của người chơi là làm sao để con số này trùng với hai con số của sổ số đặc biệt do nhà nước phát hành trong ngày hôm đó, nếu số của bạn trùng bạn sẽ được gấp 70 lần tiền đầu tư, tức là 70a. Nếu không trúng bạn mất x đồng đầu tư ban người quan điểm sai lầm rằng Nếu bỏ ra số tiền đồng. Nếu trúng sẽ được thưởng 7 triệu đồng tức là lãi triệu đồng. Tuy nhiên nếu thua chỉ bị lỗ ngàn đồng .Chúng ta hãy giải bài toán này Vì chỉ có 1 số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là Trong khi đó xác suất thua là 1- 0,01 = 0,99 .Khi đó trung bình người chơi lãi x 0,01 + – x 0,09 = vậy mỗi lần chơi trung bình bạn lỗ khoảng đồng .Như vậy sai lầm của người chơi là không tính đến xác suất trúng có lớn hay không .Xác suất thống kê có rất nhiều ứng dụng thực tiễn khác, ví dụ như Tính số lượng cá trong hồ, tính số chim trong rừng, ứng dụng trong kinh tế, ước lượng tỉ lệ bầu cử, ước lượng chiều cao trung bình, năng suất trung bình ….Có 3 sinh viên trong một phòng trọ nhưng họ chỉ được tặng hai vé đi xem phim. Khi đó họ làm 3 lá thăm trong đó 2 lá thăm được đánh dấu ” X “. Mỗi người rút lần lượt 1 lá thăm. Nếu ai rút được lá ” X ” thì được đi, tính xác suất được đi của từng người để chứng minh rằng rút trước hoặc sau thì xác suất được đi vẫn như nhau Có người cho rằng người rút thứ nhất sẽ có cơ hội được đi nhiều hơn và tiếp tục là cơ hội cho người thứ hai, còn người rút sau cùng sẽ bị thiệt thòi. Các suy luận trên đều sai- Gọi Plà xác suất để người rút thứ 1 được đi - Gọi Plà xác suất để người rút thứ 2 được đi 🙁 Nó phụ thuộc vào kết quả của người 1 .1 =- Gọi Plà xác suất để người rút thứ 3 được đi 🙁 Nó phụ thuộc vào kết quả của người 1 và người 2..0 +.1 +. lại rút lần lượt hay rút cùng lúc thì xác suất của cả 3 sinh viên được đi là như nhauĐây là bài toán thường ngày của những ngư dân nuôi cá, họ muốn biết xem số cá hiện có trong hồ của họ là bao nhiêu để có những kế hoạch nuôi đúng cách .Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là không thể bắt hết cá lên bờ, sau đó đếm thủ công được ,sẽ ảnh hưởng không tốt đến nó hoặc là mất nhiều thời gian .Lời giải ;Các bước thực hiện như sau - Bước 1 Bắt một lượng n cá lên, giả sử n = 50, rồi đánh dấu chúng sau đó thả lại vào hồ .- Bước 2 Sau đó bắt đại một lượng cá trong hồ lên, rồi tính tỉ lệ p là số lượng cá được đánh dấu. Ví dụ Bắt lên 20 con cá, thấy 2 con có đánh dấu, tức là p == 10%- Bước 3 Ước lượng tổng số cá là Như ví dụ trên thực tế, số cá trong hồ phân bố không đều lắm nên ngư dân phải thực hiện ước lượng số cá như trên trong vài lần, sau đó tính trung bình lại, lúc đó kết quả chính xác hơn .Cách làm trên là ước lượng tỉ số cá được đánh dấu, tuy nhiên còn một số vấn đề để suy ngẫm như - Bắt bao nhiêu con cá lên để đánh Chọn mẫu cá lên bao nhiêu để tính tỉ lệ- Ước lược trên chính xác được bao nhiêu phần trăm …Nếu các bạn muốn nghiêng cứu sâu hơn, các bạn có thể tìm các tài liệu xác suất thống kê ở bậc đại học, phần ước lượng, sẽ cung cấp cho các bạn phương pháp ước lượng chính xác hơn .Ngoài ra việc ước lượng cũng thường xuyên được dùng trong thực tế như Tính chiều cao trung bình, ước lượng tỉ lệ bầu cử trước khi ứng cử, điều tra dân số, kiểm tra chất lượng sản phẩm ….Còn nhiều bài toán thú vị nữa nhé các Bạn, hi vọng sau khi đọc bài này các Bạn có cái nhìn tổng quan hơn và dễ tiếp thu hơn đối với môn Xác Suất Thống Kê và không còn cảm giác e dè khi học môn học này .

ứng dụng của toán học trong đời sống